Teoria de conjuntos

Neste vídeo apresentamos uma abordagem bastante natural para responder o que são conjuntos e quais existem. Apresentamos também o paradoxo de Russell e o porquê da abordagem proposta falhar para, em seguida, defender a abordagem axiomática e estabelecer os objetivos desta série.

Neste vídeo apresentamos o axioma do conjunto vazio, o axioma da extensionalidade, e apresentamos algumas consequências imediatas desses axiomas.  

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Neste vídeo, apresentamos o Axioma da Separação e justificamos o porquê deste axioma "bloquear" o paradoxo de Russell, além de aplicar o a separação para as propriedades "x é igual a x" e "x é diferente de x". Por fim, neste vídeo também revisamos brevemente os axiomas apresentados nessa série. 

Neste vídeo, apresentamos o Axioma do Par e discutimos como obter infinitos conjuntos a partir deste axioma e do axioma do vazio. Em seguida, apresentamos o Axioma da União e explicamos como, a partir dos conjuntos dados pelo par e vazio, obter conjuntos cada vez maiores, isto é, com mais elementos.

Neste vídeo apresentamos, após breve recapitulação dos axiomas já vistos, o Axioma das Partes - também conhecido como Axioma da Potência - e resolvemos uma série de exemplos. Por fim, relacionamos o número de elementos em um conjunto com o número de elementos no conjunto das partes. 

Neste vídeo retomamos as noções de relação, função e par ordenado vistas no colégio para, motivados por elas, apresentar a definição de função em teoria de conjuntos.

Neste vídeo discutimos a noção de número natural e respondemos a perguntas sobre a natureza e existência de números naturais. Para isso, internalizamos os números naturais na teoria de conjuntos e discutimos o axioma do infinito.

Neste vídeo apresentamos uma motivação para o teorema da recursão nos naturais para, em seguida, emprega-lo nas definições de soma de dois números naturais e produto de números naturais. Em seguida, argumentos o porquê dessa formalização ser aceitável.

Neste vídeo definimos quando um conjunto é finito e quando é infinito. Para isso, discutimos a importante ideia de "comparar sem contar" para em seguida estabelecer uma série de propriedades dos conjuntos finitos e demonstrar que o conjunto de todos os números naturais é, como esperado, infinito

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Neste vídeo definimos a relação de ordem dos números naturais e argumentamos que esta definição conjuntista possui as propriedades esperadas. Com isso concluímos a formalização dos números naturais em teoria de conjuntos e argumentamos como formalizar, em teoria de conjuntos, outras noções informais do discurso matemático. No final do vídeo demonstramos, por indução, que a relação de ordem é transitiva e bem fundada (regular).

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Neste vídeo começamos a discutir o conceito de cardinal de um conjunto e, por ora, tratamos essa noção apenas de um modo informal, entendendo o cardinal de um conjunto como uma expressão do tamanho do conjunto. Apresentamos critérios de comparação de cardinais, definimos cardinal de um conjunto finito e iniciamos a discussão a respeito do cardinal de conjuntos infinitos.

Neste vídeo apresentamos elementos de aritmética cardinal e discutimos algumas razões segundo as quais não é simples definir a noção "cardinal de um conjunto" quando o conjunto é infinito. Por fim, apresentamos uma série de propriedades das operações aritméticas entre cardinal e fornecemos um argumento para uma dessas propriedades.

Neste vídeo começamos a discutir a noção de ORDINAL. Apresentamos, como motivação inicial, a ideia de contar até muito depois do infinito e também apresentamos a definição de CARDINAL a partir dos ordinais. Em seguida, consideramos três exemplos de conjuntos (finito, infinito equipotente a omega e a coleção dos números reais) e discutimos a cardinalidade desses conjuntos. 

Nesse vídeo apresentamos a definição de boa ordem e a discutimos à luz de três exemplos: (i) naturais com ordem usual e ordem "par-ímpar", (ii)  inteiros com ordem usual e ordem 0+- e (iii) reais com ordem usual e boa ordem. Em seguida, discutimos a noção de segmento inicial de um conjunto linearmente ordenado e, a partir dessa noção, enunciamos o importante teorema da comparação de boas ordens.

Neste vídeo apresentamos a definição de ordinal. Apresentamos, também, alguns exemplos e elencamos uma série de propriedades dos ordinais. Por fim, demonstramos que todo ordinal alfa contido propriamente em um ordinal beta é elemento de beta.

Nesse vídeo apresentamos os alephs e com isso os cardinais infinitos de conjuntos. Discutimos também a cardinalidade do conjunto dos números reais e o impacto da Hipótese do Contínuo nesse conjunto. Com este vídeo encerramos a análise da noção de tamanho em teoria de conjuntos (claro, outras séries, específicas a essa noção, virão)

Neste vídeo motivamos a necessidade do axioma da substituição ao considerar que certos conjuntos "esperados" ainda não tem existência garantida com os axiomas apresentados até aqui. Em seguida, enunciamos o axioma da substituição e apresentamos uma aplicação. Por fim, apresentamos uma estratégia para argumentar que a coleção de todos os conjuntos não é um conjunto.

Neste vídeo apresentamos o axioma da escolha. Iniciamos contextualizando este axioma na teoria de conjuntos ZF para em seguida apresentar o princípio conjuntista que lhe dá suporte e definirmos a noção de função escolha. Na sequência apresentamos o enunciado do axioma da escolha, discutimos o porquê deste axioma ser polêmico e relatamos as primeiras reações à sua postulação. Por fim apresentamos duas categorias de argumentos em favor da adoção deste axioma e um resultado desfavorável ao mesmo. 

Neste vídeo apresentamos o axioma da regularidade. Iniciamos o vídeo com uma motivação derivada do axioma do par e em seguida enunciamos o axioma. Para fixar o enunciado consideramos dois exemplos e, em seguida, dicutimos a influência do axioma com relação às questões "quais conjuntos existem" e "o que são conjuntos". Consideramos, também, as consequências do axioma da regularidade com relação aos fundamentos da matemática. Por fim apresentamos argumentos detalhados que asseveram que o axioma implica que nenhum conjunto é elemento de si próprio e que não há cadeia infinita e descendente de pertencimentos.

Com este vídeo concluímos a primeira série sobre teoria de conjuntos de nosso canal. Nele apresentamos as primeiras ideias por trás da Hierarquia Cumulativa de Conjuntos bem como alguns possíveis caminhos e temas para novos vídeos e séries em teoria de conjuntos.