Conjuntos Numéricos

Este vídeo inaugura a série sobre construção de conjuntos numéricos e, nele, apresentamos a estrutura da série. De modo breve, recapitulamos um possível cenário em que os números são introduzidos por considerações algébricas para depois afirmar que os inteiros são definidos a partir de pares ordenados de naturais, os racionais a partir de pares ordenados de inteiros e os complexos a partir de pares ordenados de reais. A definição dos reais é mais complicada e será feita via cortes de Dedekind.

Neste vídeo começamos a construir os números inteiros a partir dos naturais. Em particular, explicitamos nosso ponto de partida e de chegada, bem como as ferramentas da álgebra abstrata que empregaremos na construção (relações de equivalências e partições). Por fim, definimos relações de equivalência e apresentamos uma relação de equivalência que será muito útil nos próximos vídeos desta série. Link para a lista de exercícios.

Neste vídeo apresentamos algumas das noções técnicas para a construção dos números inteiros a partir dos números naturais. Especial atenção é dedicada às noções de partição de um conjunto, classe de equivalência e relação de congruência. Cada um desses conceitos é apresentado segundo uma "ideia norteadora" que depois é capturada pela definição e ilustrada por exemplos. O entendimento desses conceitos nos deixa em condições de, no próximo vídeo, concluir a construção dos inteiros a partir dos naturais.

Neste vídeo, concluímos a construção (definição) dos números inteiros a partir dos números naturais. Em especial. definimos o conjunto dos números inteiros a partir das noções de equivalência e congruência apresentados nos vídeos anteriores, definimos as operações de soma e produto e verificamos como e porque a soma é bem definida. Por fim, defendemos que essas definições possuem precisamente as propriedades esperadas para soma, produto e relação de ordem. Link para lista de exercícios.

Neste vídeo, iniciamos a construção (definição) dos números racionais a partir dos números inteiros. Em particular, apresentamos a relação de equivalência ~ empregada na definição dos racionais e definimos a relação de ordem racional. Por fim, demonstramos que ~ é transitiva. Link para lista de exercícios

Neste vídeo, concluímos a construção  (definição) dos números racionais a partir dos números inteiros. Em particular, apresentamos as operações de soma e produto racional, bem como suas propriedades. Além disso, apresentamos um problema relativo a inclusão conjuntista de IN em Z e de Z em Q. Por fim, demonstramos que ~ é uma congruência para a soma.  Link para lista de exercícios

Neste vídeo, continuamos a análise da adequação da definição de número real como corte de Dedekind. Apresentamos a definição de adição de cortes e destacamos sua propriedade associativa e comutativa. Introduzimos o corte correspondente ao número real zero e, posteriormente, discutimos considerações sobre o corte que representa o oposto de um dado corte. Concluímos o vídeo com uma demonstração detalhada de cada uma das afirmações apresentadas. Lista de exercícios aqui

Neste vídeo, continuamos a análise da adequação da definição de número real como corte de Dedekind. Em particular, motivamos cuidadosamente para em seguida definirmos o corte oposto de um corte dado. Em seguida, verificamos que esta definição é compatível com a adição de cortes definida no vídeo anterior. Concluímos o vídeo com uma demonstração detalhada de cada uma das afirmações apresentadas.  Lista de exercícios aqui

Neste vídeo, concluímos a formalização da teoria dos cortes de Dedekind, especificamente a definição da estrutura aritmética subjacente aos números reais. Destacamos, em particular, os desafios e nuances envolvidos na especificação da operação de multiplicação sobre os cortes. Afirmamos, em seguida, a consistência desta definição com as propriedades esperadas do produto em números reais. Por fim, enfatizamos que tal formalização estabelece o corpo ordenado completo dos números reais. Lista de exercícios aqui

Neste vídeo concluímos a inclusão dos conjuntos numéricos. No vídeo 7 desta série vimos que a noção ingênua de inclusão dos conjuntos numéricos N, Z e Q não são contempladas pelas definições precisas de conjuntos numéricos que apresentamos e introduzimos a noção de mergulho para contornar esse problema. Neste vídeo estendemos esta análise ao definirmos o mergulho da aritmética racional na aritmética dos reais. Lista de exercícios aqui